Wat is log-normale distributie?
Een lognormale verdeling is een continue verdeling van willekeurige variabelen waarvan de logaritmen normaal zijn verdeeld. Met andere woorden, de lognormale distributie wordt gegenereerd door de functie van e x , waarbij x (willekeurige variabele) normaal wordt verdeeld. In de natuurlijke logaritme van e x is de x, zijn de logaritmen van lognormaal verdeelde willekeurige variabelen normaal verdeeld.
Een variabele X wordt normaal verdeeld als Y = ln (X), waarbij ln de natuurlijke logaritme is.
- Y = e x
- Laten we aan beide kanten een natuurlijke logaritme aannemen.
- lnY = ln e x wat resulteert in lnY = x
Daarom kunnen we zeggen dat als X een willekeurige variabele is, een normale verdeling heeft, dan Y een lognormale verdeling heeft.
Formule voor log-normale distributie
De formule voor de kansdichtheidsfunctie van de lognormale verdeling wordt gedefinieerd door de gemiddelde μ en de standaarddeviatie σ, die wordt aangegeven door:
Parameters van Log-Normal Distribution
De lognormale verdeling wordt gekenmerkt door de volgende drie parameters:
- σ , de standaarddeviatie van de log van de distributie, ook wel de vormparameter genoemd. De vormparameter heeft over het algemeen invloed op de algehele vorm van de lognormale verdeling, maar heeft geen invloed op de locatie en hoogte van de grafiek.
- m , de mediaan van de verdeling, ook wel de schaalparameter genoemd.
- Θ , de locatieparameter die wordt gebruikt om de grafiek op de x-as te lokaliseren.
De gemiddelde deviatie en de standaarddeviatie zijn twee belangrijke parameters van de lognormale distributie en worden expliciet gedefinieerd door deze twee parameters.
De volgende afbeelding illustreert de normale verdeling en de lognormale verdeling.
Uit de bovenstaande afbeelding kunnen we de volgende kenmerken van de lognormale distributie opmerken.
- De lognormale verdelingen zijn positief scheef naar rechts vanwege lagere gemiddelde waarden en grotere variantie in de willekeurige variabelen in overwegingen.
- De lognormale verdeling wordt van onderaf altijd begrensd door 0, omdat het helpt bij het modelleren van de activaprijzen, die naar verwachting geen negatieve waarden zullen hebben.
- De lognormale verdeling is positief scheef met een groot aantal kleine waarden en bevat een paar hoofdwaarden, waardoor het gemiddelde vaak groter is dan de modus.
Uit de bovenstaande afbeelding konden we zien dat de lognormale verdeling wordt begrensd door 0 en positief naar rechts scheef staat, wat kan worden opgemerkt door de lange staart naar rechts. Deze twee waarnemingen worden beschouwd als de belangrijkste eigenschappen van lognormale verdelingen. In de praktijk bleken lognormale uitkeringen zeer nuttig bij de verdeling van aandelen- of activaprijzen, terwijl normale distributie zeer nuttig is bij het schatten van het verwachte rendement van het actief over een bepaalde periode.
Voorbeelden van log-normale distributie
Hieronder volgen enkele voorbeelden waar log-normale distributies kunnen worden gebruikt:
- Het volume van gas in energie en aardoliereserve.
- Het volume van de melkproductie.
- De hoeveelheid neerslag.
- Het potentiële leven van productie- en industriële eenheden waarvan de overlevingskansen worden gekenmerkt door de mate van stress.
- De mate van perioden waarin een infectieziekte bestaat.
Toepassing en gebruik van log-normale distributie
De volgende zijn toepassingen en toepassingen van de lognormale distributie.
- De meest gebruikte en populaire distributie is een normale distributie, die normaal verdeeld en symmetrisch is en een klokvormige curve vormt die verschillende natuurlijke modellen heeft gemodelleerd, van eenvoudig tot zeer complex.
- Maar er zijn gevallen waarin normale distributie met beperkingen wordt geconfronteerd, waarbij lognormale distributie gemakkelijk kan worden toegepast. De normale verdeling kan een negatieve willekeurige variabele beschouwen, maar de lognormale verdeling voorziet alleen in positieve willekeurige variabelen.
- Een van de verschillende toepassingen waarbij lognormale distributie wordt gebruikt in financiën, waar het wordt toegepast bij de analyse van activaprijzen. Het verwachte rendement op activa wordt in een normale verdeling weergegeven, maar de prijzen van de activa worden in een lognormale verdeling weergegeven.
- Met behulp van de lognormale verdelingscurve kunnen we eenvoudig het samengestelde rendement op activa over een bepaalde periode berekenen.
- Als we een normale verdeling hebben toegepast om de activaprijzen over een bepaalde periode te berekenen, zijn er mogelijkheden om rendementen van minder dan -100% te krijgen, die vervolgens uitgaat van de prijzen van activa van minder dan 0. Maar als we een lognormale verdeling gebruiken om de samengestelde rendement over een bepaalde periode, kunnen we gemakkelijk de situatie van het behalen van negatieve rendementen afwenden, aangezien lognormale distributie alleen positieve willekeurige variabelen beschouwt.
- Een relatieve prijs is de prijs van het activum aan het einde van de periode gedeeld door de initiële prijs van het activum, die gelijk is aan 1 plus het rendement van de bezitperiode. Om het einde van de activaprijs van de periodeprijs te vinden, kunnen we hetzelfde krijgen door deze te vermenigvuldigen met de relatieve prijs maal de initiële activaprijs. Lognormale distributie heeft alleen positieve waarde; daarom mag de activaprijs aan het einde van de periode niet lager zijn dan 0.
Log-normale distributie bij het modelleren van aandelenkoersen
De lognormale verdeling is gebruikt voor het modelleren van de kansverdeling van aandelen en vele andere activaprijzen. We hebben bijvoorbeeld waargenomen dat lognormaal wezen voorkomt in het prijsmodel van Black-Scholes-Merton-opties, waarbij wordt aangenomen dat de prijs van een onderliggende activaprijs lognormaal op hetzelfde moment wordt verdeeld.
Conclusie
- De normale verdeling is de kansverdeling, waarvan wordt gezegd dat het de asymmetrische en klokvormige curve is. Bij een normale verdeling valt 69% van de uitkomst binnen één standaarddeviatie en 95% binnen de twee standaarddeviaties.
- Vanwege de populariteit van normale distributie zijn de meeste mensen bekend met het concept en de toepassing van normale distributie, maar op dat moment lijken ze niet even bekend met het concept van de lognormale distributie. De normale verdeling kan worden omgezet in lognormale verdeling met behulp van logaritmen, wat de fundamentele basis wordt aangezien de lognormale verdelingen de enige willekeurige variabele beschouwen die normaal wordt verdeeld.
- Lognormale verdelingen kunnen worden gebruikt in combinatie met de normale verdeling. Lognormale verdelingen zijn het resultaat van het aannemen van de ln, natuurlijke logaritme waarin het grondtal gelijk is aan e = 2,718. Naast de gegeven basis, zou de lognormale distributie kunnen worden gemaakt met een andere basis, die vervolgens de vorm van de lognormale distributie zou beïnvloeden.
- De lognormale verdeling geeft een grafiek van de log van normaal verdeelde willekeurige variabelen uit de normale verdelingskrommen. De ln, de natuurlijke log is bekend e, exponent waarnaar een basis moet worden verhoogd om de gewenste willekeurige variabele x te krijgen, die op de normale verdelingskromme kan worden gevonden.
