Wat is Bootstrapping Yield Curve?
Bootstrapping is een methode om een rentecurve met nulcoupon te construeren. De volgende bootstrapping-voorbeelden geven een overzicht van hoe een rentecurve is opgebouwd. Hoewel niet elke variatie kan worden verklaard, zijn er veel methoden voor bootstrapping vanwege verschillen in gebruikte conventies.
Top 3 voorbeelden van bootstrapping-opbrengstcurve in Excel
De volgende zijn voorbeelden van bootstrapping-rentecurve in Excel.
Voorbeeld 1
Overweeg verschillende obligaties met een nominale waarde van $ 100, waarbij het rendement op de vervaldag gelijk is aan de couponrente. De coupondetails zijn zoals hieronder:
| Looptijd | 0,5 jaar | 1 jaar | 1,5 jaar | 2 jaar |
| Opbrengst tot volwassenheid | 3% | 3,50% | 4,50% | 6% |
Oplossing:
Nu ontvangt hij voor een nulcoupon met een looptijd van 6 maanden één enkele coupon die gelijk is aan het obligatierendement. Daarom zal de contante rente voor de 6-maands nulcouponobligatie 3% bedragen.
Voor een obligatie met een looptijd van 1 jaar zullen er twee kasstromen zijn, op 6 maanden en op 1 jaar.
De cashflow na 6 maanden zal (3,5% / 2 * 100 = $ 1,75) zijn en de cashflow op 1 jaar zal (100 + 1,75 = $ 101,75) zijn, dwz betaling van de hoofdsom plus de couponbetaling.
Vanaf de 0,5-jarige looptijd is de contante rente of de disconteringsvoet 3% en laten we aannemen dat de disconteringsvoet voor de 1-jarige looptijd x% is, dan
- 100 = 1,75 / (1 + 3% / 2) 1 + 101,75 / (1 + x / 2) 2
- 100-1,75 / (1 + 3% / 2) = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- 98,2758 = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- (1 + x% / 2) 2 = 101,75 / 98,2758
- (1 + x% / 2) 2 = 1,0353
- 1 + x% / 2 = (1,0353) (1/2)
- 1 + x% / 2 = 1,0175
- x% = (1,0175-1) * 2
- x% = 3.504%
Als we de bovenstaande vergelijking oplossen, krijgen we x = 3.504%
Nu, opnieuw voor een looptijd van 2 jaar,
- 100 = 3 / (1 + 3% / 2) 1 + 3 / (1 + 3.504% / 2) 2 + 3 / (1 + 4.526% / 2) 3 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100 = 2,955665025 + 2,897579405 + 2,805211867 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100-8.658456297 = 103 / (1 + x / 2) 4
- 91.3415437 = 103 / (1 + x / 2) 4
- (1 + x / 2) 4 = 103 // 91.3415437
- (1 + x / 2) 4 = 1,127635858
- (1 + x / 2) = 1,127635858 (1/4)
- (1 + x / 2) = 1,030486293
- x = 1,030486293-1
- x = 0,030486293 * 2
- x = 6,097%
Oplossend voor x krijgen we, x = 6,097%
Evenzo voor een obligatielooptijd van 1,5 jaar
100 = 2,25 / (1 + 3% / 2) 1 + 2,25 / (1 + 3,504 / 2) 2 + 102,25 / (1 + x / 2) 3
Als we de bovenstaande vergelijking oplossen, krijgen we x = 4,526%
Dus de bootstrapped nul-opbrengstcurves zijn:
| Looptijd | Nul tarieven |
| 0,5 jaar | 3% |
| 1 jaar | 3,50% |
| 1,5 jaar | 4,53% |
| 2 jaar | 6,10% |
Voorbeeld 2
Laten we eens kijken naar een set nulcouponobligaties met een nominale waarde van $ 100, met een looptijd van 6 maanden, 9 maanden en 1 jaar. De obligaties zijn nulcoupon, dwz ze betalen geen enkele coupon tijdens de looptijd. De prijzen van de obligaties zijn als volgt:
| Looptijd | Prijs ($) | |
| Maanden | 6 | 99 |
| Maanden | 9 | 98,5 |
| Jaar | 1 | 97.35 |
Oplossing:
Gezien een lineaire tariefconventie,
FV = Prijs * (1+ r * t)Waar r de nulcouponrente is, is t de tijd
Dus voor een ambtstermijn van zes maanden:
- 100 = 99 * (1 + R 6 * 6/12)
- R 6 = (100/99 - 1) * 12/6
- R 6 = 2,0202%
Voor een ambtsperiode van 9 maanden:
- 100 = 99 * (1 + R 9 * 6/12)
- R 9 = (100 / 98,5 - 1) * 12/9
- R 9 = 2,0305%
Voor een ambtsperiode van 1 jaar:
- 100 = 97,35 * (1 + R 12 * 6/12 )
- R 12 = (100 / 97,35 - 1) * 12/12
- R 12 = 2,7221%
Daarom zijn de bootstrapped zero-coupon-rentetarieven:
| Looptijd | Zero Coupon (tarieven) |
| 6 maanden | 2,02% |
| 9 maanden | 2,03% |
| 1 jaar | 2,72% |
Merk op dat het verschil tussen het eerste en het tweede voorbeeld is dat we de nulcouponrente in voorbeeld 2 als lineair hebben beschouwd, terwijl ze in voorbeeld 1 worden samengesteld.
Voorbeeld # 3
Hoewel dit geen direct voorbeeld is van een bootstrapping-rentecurve, moet men soms de rente tussen twee looptijden vinden. Beschouw de nultariefcurve voor de volgende looptijden.
| Looptijd | Zero Coupon (tarieven) |
| 6 | 2,50% |
| 1 jaar | 3,50% |
| 3 jaar | 5% |
| 4 jaar | 5,50% |
Als iemand nu de nulcouponrente nodig heeft voor een looptijd van 2 jaar, moet hij de nultarieven tussen 1 jaar en 3 jaar lineair interpoleren.
Oplossing:
Berekening nulcoupon discontovoet voor 2 jaar -
Nulcouponrente voor 2 jaar = 3,5% + (5% - 3,5%) * (2- 1) / (3-1) = 3,5% + 0,75%
Nulcouponpercentage voor 2 jaar = 4,25%
De disconteringsvoet met nulcoupon die voor de 2-jarige obligatie moet worden gebruikt, bedraagt dus 4,25%
Conclusie
De bootstrap-voorbeelden geven inzicht in hoe nultarieven worden berekend voor de prijsstelling van obligaties en andere financiële producten. Voor een juiste berekening van de nultarieven moet men correct kijken naar de marktconventies.
