Formule om de Z-score te berekenen
Z-score van onbewerkte gegevens verwijst naar de score die wordt gegenereerd door te meten hoeveel standaarddeviaties boven of onder het populatiegemiddelde de gegevens zijn, wat helpt bij het testen van de hypothese in kwestie. Met andere woorden, het is de afstand van een datapunt tot het populatiegemiddelde die wordt uitgedrukt als een veelvoud van de standaarddeviatie.
- De z-scores variëren in het bereik van -3 keer de standaarddeviatie (uiterst links van de normale verdeling) tot +3 keer de standaarddeviatie (uiterst rechts van de normale verdeling).
- De z-scores hebben een gemiddelde van 0 en een standaarddeviatie van 1.
De vergelijking voor de z-score van een gegevenspunt wordt berekend door het populatiegemiddelde af te trekken van het gegevenspunt ( x genoemd ), en vervolgens wordt het resultaat gedeeld door de standaarddeviatie van de populatie. Wiskundig wordt het weergegeven als,
Z-score = (x - μ) / ơ
waar
- x = Datapunt
- μ = gemiddelde
- ơ = standaarddeviatie
Berekening van de Z-score (stap voor stap)
De vergelijking voor de z-score van een gegevenspunt kan worden afgeleid door de volgende stappen te volgen:
- Stap 1: Bepaal eerst het gemiddelde van de dataset op basis van de datapunten of waarnemingen, die worden aangeduid met x i , terwijl het totale aantal datapunten in de dataset wordt aangeduid met N.
- Stap 2: Bepaal vervolgens de standaarddeviatie van de populatie op basis van het populatiegemiddelde μ, datapunten x i en het aantal datapunten in de populatie N.
- Stap 3: Ten slotte wordt de z-score afgeleid door het gemiddelde van het gegevenspunt af te trekken, en vervolgens wordt het resultaat gedeeld door de standaarddeviatie, zoals hieronder weergegeven.
Voorbeelden
Voorbeeld 1
Laten we het voorbeeld nemen van een klas van 50 studenten die vorige week de wetenschappelijke toets hebben geschreven. Vandaag is de resultatendag en de klasleraar vertelde me dat John 93 scoorde in de test terwijl de gemiddelde score van de klas 68 was. Bepaal de z-score voor John's testcijfer als de standaarddeviatie 13 is.
Oplossing:
Gegeven,
- John's testscore, x = 93
- Gemiddelde, μ = 68
- Standaarddeviatie, ơ = 13
Daarom kan de z-score voor de testscore van John worden berekend met behulp van de bovenstaande formule als,
Z = (93 - 68) / 13
Z-score is -
Z-score = 1,92
Daarom is de Ztest-score van John 1,92 standaarddeviatie boven de gemiddelde score van de klas, wat betekent dat 97,26% van de klas (49 leerlingen) minder scoort dan John.
Voorbeeld 2
Laten we nog een gedetailleerd voorbeeld nemen van 30 studenten (aangezien de z-test niet geschikt is voor minder dan 30 datapunten) die verschenen voor een klassetest. Bepaal de z-test score voor de 4 e student basis van de gescoord door studenten van 100 tekens - 55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66, 65, 52, 54, 83, 86, 94, 85, 72, 62, 64, 74, 82, 58, 57, 51, 91.
Oplossing:
Gegeven,
- x = 65,
- 4 e student scoorde = 65,
- Aantal datapunten, N = 30.
Gemiddelde = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30
Gemiddelde = 71,30
Nu kan de standaarddeviatie worden berekend met behulp van de onderstaande formule,
ơ = 13,44
Daarom Z-score van 4 th kan student worden berekend volgens de bovenstaande formule als,
Z = (x - x) / s
- Z = (65-30) / 13,44
- Z = -0,47
Daarom is de 4 e score student is 0.47 standaarddeviatie onder de gemiddelde score van de klasse, wat betekent dat 31,92% van de klas (10 leerlingen) scoorden minder dan de 4 e student als per z-score tabel.
Z-score in Excel (met Excel-sjabloon)
Laten we nu het geval uit voorbeeld 2 nemen om het concept van z-score in de onderstaande Excel-sjabloon te illustreren.
Hieronder vindt u gegevens voor de berekening van de Z-score.
U kunt het onderstaande Excel-blad raadplegen voor de gedetailleerde berekening van de Z Score Formula Test Statistics.
Relevantie en toepassingen
Vanuit het perspectief van hypothesetesten is z-score een zeer belangrijk concept om te begrijpen, omdat het wordt gebruikt om te testen of een teststatistiek al dan niet binnen het acceptabele waardebereik valt. De z-score wordt ook gebruikt om gegevens voorafgaand aan analyse te standaardiseren, de kans op een score te berekenen of twee of meer gegevenspunten te vergelijken, die afkomstig zijn van verschillende normale verdelingen. Er zijn de diverse toepassingen van z-score over velden, mits correct toegepast.
