Formule om standaard normale verdeling te berekenen
Standaard normale verdeling is een soort kansverdeling die symmetrisch is ten opzichte van het gemiddelde of het gemiddelde, wat aangeeft dat de gegevens in de buurt van het gemiddelde of het gemiddelde vaker voorkomen in vergelijking met de gegevens die ver van het gemiddelde of het gemiddelde liggen. Een score op de standaard normale verdeling kan de "Z-score" worden genoemd.
Standaard normale distributieformule wordt weergegeven zoals hieronder-
Z - Score = (X - µ) / σ
Waar,
- X is een normale willekeurige variabele
- µ is het gemiddelde of het gemiddelde
- σ is de standaarddeviatie
Dan moeten we waarschijnlijkheid afleiden uit de bovenstaande tabel.
Uitleg
De standaard normale verdeling in volgordewoorden, aangeduid als de Z-verdeling, heeft de volgende eigenschappen:
- Het heeft een gemiddelde of zegt het gemiddelde van nul.
- Het heeft een standaarddeviatie, die gelijk is aan 1.
Met behulp van de standaard normale tabel kunnen we de gebieden onder de dichtheidscurve achterhalen. De Z-score is pijnlijk voor de standaard normale verdeling en moet worden geïnterpreteerd als het aantal standaarddeviaties waarbij het gegevenspunt onder of boven het gemiddelde of het gemiddelde ligt.
Een negatieve Z-score geeft een score aan die onder het gemiddelde of het gemiddelde ligt, terwijl een positieve Z-score aangeeft dat het gegevenspunt boven het gemiddelde of het gemiddelde ligt.
De standaard normale verdeling volgt de 68-95-99.70 regel, die ook wel de empirische regel wordt genoemd, en volgens die achtenzestig procent van de gegeven gegevens of waarden valt binnen 1 standaarddeviatie van het gemiddelde of het gemiddelde, terwijl vijfennegentig procent valt binnen 2 standaarddeviaties, en tenslotte, negenennegentig decimaal zeven procent van de waarde of de gegevens valt binnen drie standaarddeviaties van het gemiddelde of van het gemiddelde.
Voorbeelden
Voorbeeld 1
Beschouw het gemiddelde dat aan u wordt gegeven, zoals 850, standaarddeviatie als 100. U moet de standaard normale verdeling berekenen voor een score hoger dan 940.
Oplossing:
Gebruik de volgende gegevens voor de berekening van de standaard normale verdeling.
Dus de berekening van de z-score kan als volgt worden gedaan:
Z - score = (X - µ) / σ
= (940 - 850) / 100
Z-score is -
Z-score = 0,90
Als we nu de bovenstaande tabel van de standaard normale verdeling gebruiken, hebben we een waarde voor 0,90 als 0,8159, en we moeten de score berekenen boven die van P (Z> 0,90).
We hebben het juiste pad naar de tafel nodig. De kans zou dus 1 - 0,8159 zijn, wat gelijk is aan 0,1841.
Zo ligt slechts 18,41% van de scores boven de 940.
Voorbeeld 2
Sunita volgt privélessen voor wiskundevakken en momenteel heeft ze ongeveer 100 studenten bij haar ingeschreven. Na de 1 ste proef nam ze voor haar leerlingen, kreeg ze de volgende gemiddelde aantallen, gescoord door hen, en hebben ze gerangschikt percentiel-wise.
Oplossing:
Eerst brengen we in kaart waarop we ons richten, namelijk de linkerkant van de remedie. P (Z <75).
Gebruik de volgende gegevens voor de berekening van de standaard normale verdeling.
Daarvoor moeten we eerst het gemiddelde en de standaarddeviatie berekenen.
De berekening van het gemiddelde kan als volgt worden gedaan:
Gemiddelde = (98 + 40 + 55 + 77 + 76 + 80 + 85 + 82 + 65 + 77) / 10
Gemiddelde = 73,50
De berekening van de standaarddeviatie kan als volgt worden gedaan:
Standaarddeviatie = √ (∑ (x - x) / (n-1))
Standaarddeviatie = 16,38
Dus de berekening van de z-score kan als volgt worden gedaan:
Z - score = (X - µ) / σ
= (75 - 73,50) / 16,38
Z-score is -
Z-score = 0,09
Als we nu de bovenstaande tabel van een standaard normale verdeling gebruiken, hebben we de waarde voor 0,09 als 0,5359 en dat is de waarde voor P (Z <0,09).
Vandaar dat 53,59% van de studenten onder de 75 scoorde.
Voorbeeld # 3
Vista limited is een showroom voor elektronische apparatuur. Het wil zijn consumentengedrag analyseren. Het heeft ongeveer 10.000 klanten in de stad. Gemiddeld geeft de klant 25.000 uit aan zijn winkel. De uitgaven lopen echter aanzienlijk uiteen, aangezien klanten van 22.000 tot 30.000 uitgeven en het gemiddelde van deze afwijking van ongeveer 10.000 klanten die het management van vista limited heeft bedacht, is ongeveer 500.
De directie van Vista limited heeft u benaderd en ze zijn benieuwd welk deel van hun klanten meer dan 26.000 uitgeeft? Stel dat de bestedingscijfers van de klant normaal verdeeld zijn.
Oplossing:
Eerst brengen we in kaart waarop we ons richten, namelijk de linkerkant van de remedie. P (Z> 26.000).
Gebruik de volgende gegevens voor de berekening van de standaard normale verdeling.
De berekening van de z-score kan als volgt worden gedaan:
Z - score = (X - µ) / σ
= (26.000 - 25.000) / 500
Z-score wordt
Z-score = 2
De berekening van de standaard normale verdeling kan als volgt worden gedaan:
Standaard normale distributie zal worden
Als we nu de bovenstaande tabel van de standaard normale verdeling gebruiken, hebben we een waarde van 2,00, wat 0,9772 is, en nu moeten we berekenen voor P (Z> 2).
We hebben het juiste pad naar de tafel nodig. Daarom zou de kans 1 - 0,9772 zijn, wat gelijk is aan 0,0228.
Vandaar dat 2,28% van de consumenten boven de 26.000 uitgeven.
Relevantie en gebruik
Om een weloverwogen en juiste beslissing te nemen, moeten alle scores naar een vergelijkbare schaal worden geconverteerd. Men moet die scores standaardiseren, ze allemaal converteren naar de standaard normale verdeling met behulp van de Z-scoremethode, met een enkele standaarddeviatie en een enkel gemiddelde of het gemiddelde. Dit wordt voornamelijk gebruikt op het gebied van statistiek en ook op het gebied van financiën, dat ook door handelaren.
Veel statistische theorieën hebben geprobeerd de prijzen van het activum (op financieel gebied) te modelleren met als belangrijkste aanname dat ze een dergelijke normale verdeling zullen volgen. Prijsverdelingen hebben meestal de neiging om dikkere staarten te hebben en hebben daarom kurtosis, die groter is dan 3 in real-life scenario's. Van dergelijke activa is waargenomen dat ze prijsbewegingen hebben die groter zijn dan 3 standaarddeviaties boven het gemiddelde of het gemiddelde en vaker dan de verwachte aanname bij een normale distributie.
