Euler's Totient-functie - Betekenis, voorbeelden, hoe te berekenen?

Wat is de totale functie van Euler?

De Totient-functie van Euler zijn de wiskundige vermenigvuldigingsfuncties die de positieve gehele getallen tellen tot aan het gegeven gehele getal dat over het algemeen 'n' wordt genoemd en die een priemgetal tot 'n' zijn en de functie wordt gebruikt om het aantal priemgetallen te kennen dat bestaat tot aan de gegeven integer 'n'.

Uitleg

Om te weten hoeveel priemgetallen het gegeven gehele getal bereiken, wordt de Totient-functie van Euler gebruikt. Het wordt ook wel een rekenkundige functie genoemd. Voor een toepassing of gebruik van de functie Totient van Euler zijn twee dingen belangrijk. Een daarvan is dat de ggd gevormd uit het gegeven gehele getal 'n' multiplicatief ten opzichte van elkaar moet zijn, en de andere is dat de getallen van ggd alleen de priemgetallen zouden moeten zijn. Het gehele getal 'n' moet in dit geval groter zijn dan 1. Van een negatief geheel getal is het niet mogelijk om de Totient-functie van de Euler te berekenen. Het principe is in dit geval dat voor ϕ (n) de vermenigvuldigers met de naam m en n groter moeten zijn dan 1. Daarom aangeduid met 1

Geschiedenis

Euler introduceerde deze functie in 1763. Aanvankelijk gebruikte Euler het Griekse π voor de aanduiding van de functie, maar vanwege enkele problemen kreeg zijn aanduiding van het Griekse π de herkenning niet. En hij slaagde er niet in om het het juiste teken te geven, dwz ϕ. Daarom kan de functie niet worden geïntroduceerd. Verder is ϕ overgenomen uit de Disquisitiones Arithmeticae van Gauss uit 1801. De functie wordt ook wel phi-functie genoemd. Maar JJ Sylvester nam in 1879 de term totient voor deze functie op vanwege eigenschappen en het gebruik van de functies. De verschillende regels zijn omkaderd om met verschillende soorten gehele getallen om te gaan, bijvoorbeeld als integer p een priemgetal is, welke regel dan moet worden toegepast, etc. alle regels die door Euler worden omkaderd, zijn praktisch en kunnen zelfs vandaag de dag worden gebruikt bij dezelfde.

Eigenschappen van de Totient-functie van Euler

Er zijn enkele van de verschillende eigenschappen. Enkele van de eigenschappen van de totient-functie van Euler zijn als onder:

  • Φ is het symbool dat wordt gebruikt om de functie aan te duiden.
  • De functie behandelt de theorie van de priemgetallen.
  • De functie is alleen van toepassing in het geval van positieve gehele getallen.
  • Voor ϕ (n) zijn twee multiplicatieve priemgetallen te vinden om de functie te berekenen.
  • De functie is een wiskundige functie en op veel manieren nuttig.
  • Als integer 'n' een priemgetal is, dan is ggd (m, n) = 1.
  • De functie werkt op de formule 1 <m <n waarbij m en n de priemgetallen en multiplicatieve getallen zijn.
  • Over het algemeen is de vergelijking
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • De functie telt in feite het aantal positieve gehele getallen dat kleiner is dan het gegeven gehele getal, wat relatief priemgetallen is voor het gegeven gehele getal.
  • Als het gegeven gehele getal p een priemgetal is, dan is ϕ (p) = p - 1
  • Als de macht van p een priemgetal is, dan, als a = p n een primair vermogen is, dan is ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) is niet één - één
  • ϕ (n) is niet op.
  • ϕ (n), n> 3 is altijd even.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Bereken de totale functie van Euler

Voorbeeld 1

Bereken ϕ (7)?

Oplossing:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Omdat alle getallen een priemgetal zijn tot 7, was het daarom gemakkelijk om de ϕ te berekenen.

Voorbeeld 2

Bereken ϕ (100)?

Oplossing:

Aangezien 100 een groot getal is, is het tijdrovend om van 1 tot 100 de priemgetallen te berekenen die priemgetallen zijn met 100. Daarom passen we de onderstaande formule toe:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Voorbeeld # 3

Bereken ϕ (240)?

Veelvouden van 240 zijn 16 * 5 * 3, dwz 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1-1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

als n M geen priemgetal is, gebruiken we n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Voorbeeld # 4

Bereken ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Toepassingen

De verschillende toepassingen zijn als onder:

  • De functie wordt gebruikt voor het definiëren van het RSA-versleutelingssysteem dat wordt gebruikt voor versleuteling van internetbeveiliging.
  • Gebruikt in de theorie van priemgetallen.
  • Ook gebruikt in grote berekeningen.
  • Gebruikt in toepassingen van elementaire getaltheorie.

Conclusie

De totient-functie van Euler is op veel manieren nuttig. Het wordt gebruikt in het RSA-versleutelingssysteem, dat wordt gebruikt voor beveiligingsdoeleinden. De functie behandelt de priemgetaltheorie en is ook nuttig bij de berekening van grote berekeningen. De functie wordt ook gebruikt in algebraïsche berekeningen en elementaire getallen. Het symbool dat wordt gebruikt om de functie aan te duiden is ϕ, en het wordt ook een phi-functie genoemd. De functie bestaat uit meer theoretisch gebruik dan praktisch gebruik. Het praktische gebruik van de functie is beperkt. De functie kan beter worden begrepen aan de hand van de verschillende praktische voorbeelden in plaats van alleen theoretische verklaringen. Er zijn verschillende regels voor het berekenen van de totientfunctie van de Euler en voor verschillende getallen moeten verschillende regels worden toegepast. De functie werd voor het eerst geïntroduceerd in 1763, maar vanwege enkele problemenhet kreeg erkenning in 1784, en de naam werd gewijzigd in 1879. De functie is een universele functie en kan overal worden toegepast.

Interessante artikelen...