Poisson-verdeling (betekenis, formule) - Hoe te berekenen?

Inhoudsopgave

Wat is Poisson-distributie?

Wat is Poisson-distributie?

In de statistieken verwijst Poisson-verdeling naar de verdelingsfunctie die wordt gebruikt bij het analyseren van de variantie die ontstaat tegen het optreden van de specifieke gebeurtenis op een gemiddelde onder elk van de tijdframes, dwz door deze te gebruiken kan de waarschijnlijkheid van één gebeurtenis in specifieke gebeurtenis tijd en variantie ten opzichte van een gemiddeld aantal voorvallen.

Poisson-distributievergelijking wordt hieronder gegeven:

P (x; u) = (e ^-u ) * (u ^x ) / x!

Waar

u = gemiddeld aantal voorvallen gedurende de tijdsperiode
P (x; u) = kans op x aantal instanties gedurende de tijdsperiode
X = aantal voorvallen waarvan de waarschijnlijkheid bekend moet zijn

Uitleg

De formule is als volgt-

P (x; u) = (e -u). (U x) / x!

Waar

u = gemiddeld aantal voorvallen gedurende de tijdsperiode
X = aantal voorvallen waarvan de waarschijnlijkheid bekend moet zijn
P (x; u) = kans op x aantal gevallen gedurende de tijdsperiode gegeven u is een gemiddeld aantal gevallen
e = Euler's getal, dat de basis is van de natuurlijke logaritme, ong. waarde van e is 2,72
X! = Het staat bekend als x faculteit. Factorieel van een getal is een product van dat gehele getal en alle gehele getallen eronder. Voor bijv. 4! = 4 * 3 * 2 * 1

Voorbeelden

Voorbeeld 1

Laten we een eenvoudig voorbeeld nemen van een Poisson-verdelingsformule. Het gemiddelde voorkomen van een gebeurtenis in een bepaald tijdsbestek is 10. Wat is de kans dat die gebeurtenis 15 keer voorkomt?

In dit voorbeeld is u = gemiddeld aantal keren dat een gebeurtenis voorkomt = 10

En x = 15

Daarom kan de berekening als volgt worden gedaan,

P (15; 10) = e (- 10) * 10 15/15!

P (15; 10) = 0,0347 = 3,47%

Daarom is er een kans van 3,47% dat die gebeurtenis 15 keer plaatsvindt.

Voorbeeld 2

Het gebruik van de Poisson-verdelingsvergelijking kan zichtbaar worden gezien voor het verbeteren van de productiviteit en operationele efficiëntie van een bedrijf. Hiermee kan worden nagegaan of het financieel haalbaar is om 24 uur per dag een winkel te openen.

Stel dat Walmart in de VS van plan is om zijn winkel 24 uur per dag te openen. Om de haalbaarheid van deze optie te achterhalen, zal het Walmart-management eerst het gemiddelde aantal verkopen tussen middernacht en 8 uur 's ochtends achterhalen. Nu berekent het de totale bedrijfskosten voor de dienst van 12.00 uur tot 20.00 uur. Op basis van deze bedrijfskosten weet het management van Walmart dat wat het minimumaantal verkoopeenheden is dat moet worden doorbroken. Vervolgens zal het met de Poisson-verdelingsformule de waarschijnlijkheid van dat verkoopcijfer achterhalen en kijken of het haalbaar is om de winkel 24 uur per dag te openen of niet.

Laten we bijvoorbeeld zeggen dat de gemiddelde exploitatiekosten op een dag $ 10.000 bedragen van 12.00 uur tot 20.00 uur. De gemiddelde omzet zou op dat moment $ 10.200 bedragen. Voor break-even zou elke dagverkoop $ 10.000 moeten zijn. Nu zullen we de waarschijnlijkheid van $ 10.000 of minder verkopen op een dag te weten komen, zodat break-even kan worden bereikt

Daarom kan de berekening als volgt worden gedaan,

P (10.000,10200) = POISSON.VERD (10200,10000; WAAR)

P (10.000.10200) = 97,7%

Daarom is er een kans van 97,7% dat $ 10.000 of minder op een dag wordt verkocht. Op dezelfde manier is er een kans van 50,3% voor $ 10.200 of minder Dell op een dag. Dat betekent dat de verkoopkans tussen 10.000 en 10.200 47,4% is. Daarom is er een goede kans voor het bedrijf om break-even te spelen.

Voorbeeld # 3

Een ander gebruik van de Poisson-distributieformule is in de verzekeringssector. Een bedrijf dat actief is in het verzekeringsbedrijf, bepaalt het premiebedrag op basis van het aantal claims en het geclaimde bedrag per jaar. Om het premiebedrag te evalueren, zal de verzekeringsmaatschappij dus het gemiddelde aantal geclaimde bedragen per jaar bepalen. Op basis van dat gemiddelde wordt dan ook het minimum en het maximum aantal claims bepaald dat redelijkerwijs in het jaar kan worden ingediend. Op basis van het maximale aantal van het claimbedrag en de kosten en winst van de premie, zal de verzekeringsmaatschappij bepalen wat voor soort premiebedrag goed is om zijn bedrijf te breken.

Laten we zeggen dat het gemiddelde aantal claims dat door een verzekeringsmaatschappij per dag wordt afgehandeld 5 is. Het zal uitzoeken wat de kans is op 10 claims per dag.

Daarom kan de berekening van de Poisson-verdeling als volgt worden gedaan,

P (10; 5) = e (- 5). 5 10/10!

P (10; 5) = 1,81%

Daarom is de kans erg klein dat het bedrijf 10 claims per dag zal moeten maken en kan het op basis van deze gegevens zijn premie betalen.

Relevantie en toepassingen

De Poisson-verdelingsvergelijking is erg handig om een aantal gebeurtenissen te achterhalen met een bepaald tijdsbestek en bekende snelheid. Hieronder staan enkele toepassingen van de formule:

In de callcenterbranche, om de kans op oproepen te achterhalen, wat meer tijd kost dan normaal, en op basis daarvan de gemiddelde wachttijd voor klanten te achterhalen.
Om erachter te komen wat het maximale en minimale aantal verkopen in oneven uren is en om erachter te komen of het haalbaar is om op dat moment een winkel te openen.
Om de kans op een aantal verkeersongevallen in een tijdsinterval te achterhalen.
Om de waarschijnlijkheid te achterhalen dat het maximale aantal patiënten op een bepaald tijdstip arriveert,
Een aantal maximum en minimum en kliks op een website.
Om de voetstappen van bezoekers in een winkelcentrum, restaurant, enz.
Om erachter te komen wat de kans is op een maximum en een minimum aantal verzekeringsclaims in een jaar.

Poisson-distributie in Excel

Het is heel gemakkelijk om de Poisson-verdeling te achterhalen met Excel. Er is een Excel-functie om de kans op een gebeurtenis te achterhalen. Hieronder is de syntaxis van de functie-

Waar

x = aantal voorvallen waarvan de waarschijnlijkheid bekend moet zijn
Gemiddelde = gemiddeld aantal voorvallen gedurende de tijdsperiode
Cumulatief = de waarde zal False zijn als we het exacte voorkomen van een gebeurtenis nodig hebben en True als een aantal willekeurige gebeurtenissen tussen 0 en die gebeurtenis ligt.

We nemen hetzelfde voorbeeld 1 dat we hierboven hebben genomen. Hier x = 15, gemiddelde = 10, en we zullen de waarschijnlijkheid van een exact aantal gebeurtenissen moeten vinden. Het derde argument zal dus onwaar zijn.

Dus P (15; 10) = POISSON.VERD (15,10, ONWAAR) = 0,0347 = 3,47%

Hier kregen we de exacte waarde met behulp van de standaard Excel-formule.

Laten we in het bovenstaande voorbeeld aannemen; we moeten de kans op voorkomen tussen 0 en 15 achterhalen; dan zullen we in de formule TRUE gebruiken in plaats van false.